Au concours FASA, Larissa, candidate à Dschang dans la région de l'Ouest, tombe sur une suite qui démarre à zéro : chaque terme vaut la moitié du précédent, plus trois. Peut-elle s'envoler ? Les maths sont son point sensible — elle demande un indice. On décrypte.
Trois termes qui rentrent dans l'intervalle ne prouvent rien du rang 100. C'est tout le sujet.
📊 En bref
- u(1) = 3, u(2) = 4,5, u(3) = 5,25 — plausible, mais pas une preuve
- Une propriété « vraie pour tout n » se démontre par récurrence, jamais par échantillon
- Deux temps : initialisation au rang 0, puis hérédité
- L'hérédité part de l'hypothèse et applique les opérations de la relation dans l'ordre
- Multiplier par un nombre strictement positif conserve le sens des inégalités — ce mot s'écrit
- Suite minorée par 0 et majorée par 6 → elle est bornée
- Périmètre : du CM1 à la Terminale + concours post-BAC, avec mode hors-ligne
Ce décryptage part d'une vraie copie de concours post-BAC : un calcul sur une suite définie par récurrence. Il faut donner trois termes, puis démontrer que la suite reste toujours entre 0 et 6, et conclure. C'est un exercice où l'on se croit arrivé alors que tout reste à faire. Larissa demande un indice, puis déroule sans faute. On regarde ce que THOTH, la turbo intelligence de la plateforme, ajoute à une copie déjà correcte.
L'indice que Larissa a demandé
Thoth a séparé les deux moitiés du travail : calculer trois termes se fait de tête en enchaînant la formule, mais quelques valeurs ne prouveront jamais un encadrement pour tous les rangs. Puis le rappel de la structure : les deux temps de la récurrence, initialisation puis hérédité. Et la clé de l'hérédité — partir de l'encadrement supposé et lui appliquer, dans l'ordre, les opérations mêmes de la relation.
La copie de Larissa
Les trois termes. u(1) = 0,5 × 0 + 3 = 3. u(2) = 0,5 × 3 + 3 = 4,5. u(3) = 0,5 × 4,5 + 3 = 5,25. Et cette phrase, qui vaut cher : ces valeurs sont bien entre 0 et 6, ce qui rend l'encadrement plausible, mais ne le démontre pas.
La récurrence. Elle pose P(n) : « 0 ≤ u(n) ≤ 6 ».
Initialisation : u(0) = 0, et 0 ≤ 0 ≤ 6, donc P(0) est vraie.
Hérédité : soit n fixé tel que P(n) est vraie, donc 0 ≤ u(n) ≤ 6. Elle multiplie les trois membres par 0,5, strictement positif, donc le sens des inégalités est conservé : 0 ≤ 0,5 u(n) ≤ 3. Elle ajoute 3 : 3 ≤ u(n+1) ≤ 6. Comme 0 ≤ 3, on a a fortiori 0 ≤ u(n+1) ≤ 6, donc P(n+1) est vraie.
Conclusion : vraie au rang 0 et héréditaire, donc vraie pour tout n. La suite est minorée par 0 et majorée par 6 : elle est bornée.
Le piège de l'exercice
Il est tout entier dans la première partie. Trois valeurs conformes donnent l'impression que « ça se voit ». Beaucoup de candidats concluent là-dessus et perdent la totalité des points de la démonstration. Trois termes ne disent absolument rien du rang 100.
Larissa a eu la lucidité de l'écrire noir sur blanc avant d'attaquer la récurrence. C'est cette phrase qui montre au correcteur qu'on sait ce qu'est une preuve.
Le second point qui se joue en une ligne : le mot « strictement positif ». Si le coefficient avait été négatif, il aurait fallu inverser les inégalités. Cette justification ne se sous-entend jamais — elle s'écrit.
Un bonus que la démonstration révèle
L'hérédité a en réalité donné 3 ≤ u(n+1) ≤ 6. Autrement dit, dès le rang 1, la suite reste coincée entre 3 et 6 — un encadrement plus fin que celui demandé, et que confirment les valeurs 3 ; 4,5 ; 5,25.
Larissa n'en avait pas besoin ici, mais le réflexe vaut : souvent la récurrence donne un peu plus que ce qu'on demande. Garde l'œil ouvert, c'est parfois la question suivante de l'énoncé.
Aller plus loin quand on maîtrise déjà
Elle a posé la question que tout le monde se pose au moment de rédiger : pourquoi part-on de u(n) et pas de u(n+1) ? On ne sait plus par quel bout commencer.
La règle est simple : toujours par ce qu'on suppose vrai. L'hypothèse, c'est l'encadrement de u(n). On le prend comme point de départ et on le fait avancer vers u(n+1) en lui appliquant, dans l'ordre, les opérations de la relation — multiplier par 0,5, puis ajouter 3. On ne part jamais de ce qu'on veut prouver ; on y arrive. Repère-le ainsi : hypothèse à gauche au départ, conclusion à droite à l'arrivée.
Sa seconde question anticipe le cas voisin : et si le coefficient était −0,5 ? Une seule chose change, mais elle est vitale. En multipliant l'encadrement par un nombre négatif, on inverse le sens des inégalités : si 0 ≤ u(n) ≤ 6, alors −0,5 u(n) est compris entre −3 et 0, le plus grand devenant le plus petit. Le réflexe : avant de multiplier, regarde le signe du coefficient.
Les trois réflexes à graver : conjecturer n'est pas démontrer, partir de l'hypothèse, écrire le mot « positif ».
Ce que Thoth change
Larissa avait juste, et sur un exercice piégeux. Un corrigé aurait donné la rédaction type. THOTH, ta turbo intelligence, souligne d'abord ce qui fait la valeur de la copie — avoir écrit que trois termes ne prouvent rien —, puis met le doigt sur la ligne qui se joue en un mot, « strictement positif », et signale un encadrement plus fin qu'elle avait obtenu sans le voir. Corriger une copie juste, c'est lui montrer ce qu'elle contient déjà. Tu veux d'abord comprendre l'outil ? Lis Qu'est-ce que TurboClasse ?.
À toi de jouer
- Conjecturer n'est pas démontrer. Les premiers termes orientent, la récurrence prouve.
- Pars de l'hypothèse, applique les opérations de la relation dans l'ordre, arrive à u(n+1).
- Écris le signe du coefficient. Positif, on conserve ; négatif, on inverse. Toujours justifié.
C'est toute l'idée de TurboClasse : 2 fois plus vite, 2 fois plus fort, 2 fois meilleur. On ne révise pas plus longtemps, on révise mieux.
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Sources
- Faculté d'Agronomie et des Sciences Agricoles — Université de Dschang
- Décisions d'ouverture des concours d'entrée à la FASA — Ministère de l'Enseignement supérieur
