Au concours FASA, Larissa, candidate à Dschang dans la région de l'Ouest, tombe sur une courbe faite de deux morceaux. Quelle valeur choisir pour qu'ils se rejoignent sans saut ? Les maths sont son point sensible — elle demande un indice avant de se lancer. On décrypte.
Deux morceaux de courbe, un point de rencontre. Toute la question tient dans une équation.
📊 En bref
- Continuité en un point = trois quantités égales : limite à gauche, limite à droite, valeur au point
- Un raccordement est une équation d'inconnue a, pas un raisonnement flou
- 0/0 n'est pas un mur : c'est le signal « factorise et simplifie avant de conclure »
- Le « ou égal » de l'énoncé désigne l'expression qui donne la valeur au point
- Ici : limite à gauche 4, limite à droite 2a + 1 → 4 = 2a + 1 → a = 1,5
- Dernière ligne obligatoire : justifier la continuité partout, et l'unicité de a
- Périmètre : du CM1 à la Terminale + concours post-BAC, avec mode hors-ligne
Ce décryptage part d'une vraie copie de concours post-BAC : un calcul de continuité posé sur un modèle de croissance de plant. La fonction vaut (x² − 4)/(x − 2) avant le point d'abscisse 2, et ax + 1 à partir de 2. Il faut trouver le a qui recolle les deux morceaux. Larissa demande un indice, puis déroule juste jusqu'au bout. On regarde ce que THOTH, la turbo intelligence de la plateforme, ajoute à une copie déjà correcte.
L'indice que Larissa a demandé
Elle ne s'est pas jetée sur le calcul. Elle a demandé un coup de main, et Thoth le lui a donné sans donner la réponse : pour raccorder deux morceaux en un point, il y a une condition à écrire ; attention au morceau de gauche, où remplacer x par 2 donne zéro divisé par zéro ; ça ne veut pas dire que la limite n'existe pas, ça veut dire qu'il faut transformer l'écriture. Puis la question qui débloque tout : x² − 4, est-ce que ça se factorise ?
C'est exactement le rôle d'un indice utile : il montre la porte, il ne pousse pas au travers.
La copie de Larissa
Elle pose la triple égalité : pour que f soit continue en 2, la limite à gauche, la limite à droite et f(2) doivent être égales.
f(2) se lit sur la seconde expression, celle dont l'inégalité est large : f(2) = 2a + 1.
Limite à gauche. Remplacer x par 2 donne 0/0. Elle factorise : x² − 4 = (x − 2)(x + 2), donc pour x < 2 la fonction vaut (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, la simplification étant permise puisque x reste différent de 2. La limite vaut donc 2 + 2 = 4.
Limite à droite. L'expression ax + 1 tend vers 2a + 1.
Raccord. 4 = 2a + 1, donc 2a = 3, donc a = 1,5.
Puis la conclusion : avec a = 1,5, la fonction coïncide avec x + 2 avant le point — une affine, donc continue —, avec 1,5x + 1 après — une autre affine —, et le raccord vient d'être établi au point 2. Donc f est continue sur tout l'ensemble des nombres réels, et c'est la seule valeur de a qui marche.
Le réflexe à ancrer
Le premier point facile, c'est f(2). L'image du point se lit sur l'expression dont l'inégalité est large, « x supérieur ou égal à 2 ». Aucun calcul compliqué là-dedans : f(2) = 2a + 1.
Le vrai piège était à gauche. Si tu remplaces bêtement x par 2 dans (x² − 4)/(x − 2), tu obtiens 0/0. Beaucoup de candidats s'arrêtent là, ou concluent que la limite n'existe pas. L'erreur classique, c'est de confondre « limite à gauche » et « valeur de la première formule en 2 ». Les deux se calculent sur la même expression, mais cette expression n'est pas définie en 2 — division par zéro. Il faut la simplifier en x + 2, et seulement ensuite passer à la limite.
Le calcul propre tient en trois lignes : limite à gauche 4, limite à droite 2a + 1, condition 4 = 2a + 1 donc a = 1,5.
Aller plus loin quand on maîtrise déjà
Larissa a posé la question qui gêne tout le monde : pourquoi a-t-on le droit de simplifier par (x − 2), alors qu'on fait tendre x vers 2 juste après ? On dirait qu'on divise par zéro.
La réponse est subtile et vaut d'être tenue. Quand on calcule la limite à gauche, x prend des valeurs strictement inférieures à 2 : 1,9 puis 1,99 puis 1,999… mais jamais 2 exactement. Donc x − 2 n'est jamais nul pendant tout le trajet, et la simplification est parfaitement légale. On obtient x + 2. Ce n'est qu'à la toute fin, sur cette nouvelle écriture — qui, elle, est bien définie en 2 — qu'on remplace et qu'on trouve 4. On ne divise jamais réellement par zéro : on s'en approche, sans jamais y toucher.
Sa deuxième question éclaire la construction de l'énoncé : et si le « ou égal » avait été de l'autre côté ? Alors f(2) se lirait sur (x² − 4)/(x − 2)… qui n'est pas définie en 2. La fonction serait mal posée à cet endroit. C'est pourquoi, dans un exercice bien construit, l'inégalité large tombe sur le morceau calculable au point. Regarde toujours de quel côté est le « ou égal » : c'est lui qui te désigne la valeur au point.
Les trois réflexes à graver : triple égalité, 0/0 signifie « factorise », le « ou égal » désigne f du point.
Ce que Thoth change
Larissa avait juste — mais elle avait aussi demandé un indice, et c'est là que la différence se voit. Un corrigé de livre donne la solution finie, sans jamais aider celui qui bloque en amont. THOTH, ta turbo intelligence, oriente sans révéler, puis valide, puis creuse : la légalité de la simplification, le rôle du « ou égal », l'unicité de la solution. C'est ce qui transforme un exercice réussi en méthode réutilisable. Tu veux d'abord comprendre l'outil ? Lis Qu'est-ce que TurboClasse ?.
À toi de jouer
- Écris la triple égalité avant tout calcul : limite à gauche = limite à droite = valeur au point.
- 0/0 = factorise. Ce n'est jamais une impasse, c'est une invitation à réécrire.
- Termine le travail : justifie la continuité sur chaque intervalle, et dis pourquoi aucune autre valeur de a ne convient.
C'est toute l'idée de TurboClasse : 2 fois plus vite, 2 fois plus fort, 2 fois meilleur. On ne révise pas plus longtemps, on révise mieux.
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Sources
- Faculté d'Agronomie et des Sciences Agricoles — Université de Dschang
- Décisions d'ouverture des concours d'entrée à la FASA — Ministère de l'Enseignement supérieur
