Au concours FASA, Larissa, candidate à Dschang dans la région de l'Ouest, tombe sur un test rapide qui repère 95 % des plants malades. On l'applique à un plant, il ressort positif. Quelle chance ce plant est-il vraiment atteint ? Les maths sont son point sensible — elle demande un indice. On décrypte.
95 % et 28 % décrivent le même test. Ce qui change, c'est le sens de la question.
📊 En bref
- « Positif chez 95 % des malades » = probabilité d'être positif sachant malade
- La question demande l'inverse : malade sachant positif
- Vrais positifs : 0,04 × 0,95 = 0,038 · Faux positifs : 0,96 × 0,10 = 0,096
- Probabilité d'un test positif : 0,134
- Réponse : 0,038 ÷ 0,134 ≈ 0,284, soit 28,4 %
- Le piège est au dénominateur : oublier les faux positifs fait répondre 95 %
- Périmètre : du CM1 à la Terminale + concours post-BAC, avec mode hors-ligne
Ce décryptage part d'une vraie copie de concours post-BAC : un calcul de probabilités conditionnelles sur un test de dépistage. Le piège n'est pas dans les nombres, il est dans le sens de la question — et il fait tomber la majorité des candidats. Larissa demande un indice, puis déroule sans faute. On regarde ce que THOTH, la turbo intelligence de la plateforme, ajoute à une copie déjà correcte.
L'indice que Larissa a demandé
Thoth lui a donné l'outil et le piège, sans le calcul. L'outil : un arbre pondéré — au premier niveau, plant atteint ou sain ; au second, test positif ou négatif dans chacun des deux cas. Le piège : « positif chez 95 % des plants atteints » est la probabilité d'être positif sachant atteint — ce n'est pas la même chose que la probabilité d'être atteint sachant le test positif, qui est ce qu'on demande.
La copie de Larissa
Elle pose les notations, relève les données, et en déduit ce que l'énoncé ne dit pas directement : la probabilité d'un test positif chez un plant sain vaut 1 − 0,90 = 0,10.
Son arbre :
- premier niveau — atteint 0,04, sain 0,96 ;
- depuis atteint — positif 0,95, négatif 0,05 ;
- depuis sain — positif 0,10, négatif 0,90.
Probabilité d'un test positif, en réunissant les deux chemins : vrais positifs 0,04 × 0,95 = 0,038 ; faux positifs 0,96 × 0,10 = 0,096. Total : 0,134.
Par la formule de Bayes : 0,038 ÷ 0,134 ≈ 0,284, soit environ 28,4 %.
Et son commentaire, qui vaut autant que le calcul : c'est surprenant pour un test qui repère 95 % des malades, mais la maladie est rare. Sur 10 000 plants, 380 vrais positifs contre 960 faux : les faux dominent. Le test reste utile — il fait passer le risque de 4 % à 28,4 %.
Le piège, et où il se cache exactement
La question demande : « sachant que le test ressort positif, quelle chance le plant est-il vraiment malade ? » Ce n'est pas le 95 % de l'énoncé. Ce 95 %, c'est l'inverse : « sachant que le plant est malade, quelle chance le test le repère ».
Deux conditionnelles opposées, deux nombres très différents.
Et le piège est précisément au dénominateur. Si l'on oublie les faux positifs, on répond 95 % et on se trompe. Bayes ne garde que la part des vrais positifs dans l'ensemble des positifs.
La preuve par les effectifs
C'est le filet de sécurité, et il rend le piège visible. Imagine 10 000 plants :
- 400 sont malades, 9 600 sont sains ;
- le test est positif chez 400 × 0,95 = 380 malades ;
- mais aussi chez 9 600 × 0,10 = 960 plants sains ;
- soit 1 340 tests positifs, dont seulement 380 vrais.
380 ÷ 1 340 ≈ 0,284. Les sains étant 24 fois plus nombreux, même un petit taux de faux positifs suffit à noyer les vrais.
Aller plus loin quand on maîtrise déjà
Larissa a posé la question que le résultat appelle : à 28 %, le test ne sert-il presque à rien ?
Au contraire. Avant le test, un plant pris au hasard avait 4 % de risque. Après un test positif, il en a 28,4 % — sept fois plus. Le test ne donne pas une certitude, mais il concentre fortement le risque, assez pour décider quels plants isoler ou re-tester. Et un test négatif garantit un plant sain à environ 99,8 %.
Sa seconde question isole la vraie cause : et si la maladie touchait 40 % des plants ? Le même arbre donne vrais positifs 0,38, faux positifs 0,06, donc 0,38 ÷ 0,44 ≈ 0,86. Le même test passe de 28 % à 86 % de fiabilité, uniquement parce que la maladie est plus fréquente. C'est la rareté de la maladie, pas la qualité du test, qui écrasait le résultat.
Les trois réflexes à graver : le sens de la conditionnelle, le dénominateur complet, et le contrôle par les effectifs.
Ce que Thoth change
Larissa avait tout juste, sur l'exercice où l'on tombe le plus. THOTH, ta turbo intelligence, ne se contente pas de valider : il refait la démonstration par les effectifs, qui transforme des probabilités en têtes de plants et rend le piège visible d'un coup d'œil — puis il change une seule donnée pour montrer que le coupable n'était pas le test mais la rareté de la maladie. C'est ce qui fait passer d'un exercice réussi à une notion tenue. Tu veux d'abord comprendre l'outil ? Lis Qu'est-ce que TurboClasse ?.
À toi de jouer
- Repère le sens de la conditionnelle. « Fiable à 95 % » n'est jamais la réponse à « suis-je malade ? ».
- Le dénominateur doit être complet : vrais positifs plus faux positifs.
- Contrôle sur 10 000 individus. Les effectifs rendent visible ce que les décimales cachent.
C'est toute l'idée de TurboClasse : 2 fois plus vite, 2 fois plus fort, 2 fois meilleur. On ne révise pas plus longtemps, on révise mieux.
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Sources
- Faculté d'Agronomie et des Sciences Agricoles — Université de Dschang
- Décisions d'ouverture des concours d'entrée à la FASA — Ministère de l'Enseignement supérieur
