Au concours ENSTP, deux projectiles partent à la même vitesse, l'un à 30°, l'autre à 60°. Ils retombent au même endroit — donc, conclut l'élève, « même trajectoire ». C'est là que ça coince. On décrypte.
Même point de chute, chemins très différents. La portée se joue sur l'axe X, la flèche sur l'axe Y.
📊 En bref
- Deux angles complémentaires (30° + 60° = 90°) donnent la même portée : 59,7 m (v0 = 26 m/s)
- Mais pas la même flèche : 8,61 m à 30° contre 25,84 m à 60°
- Portée : xP = v0²·sin 2α / g ; flèche : H = v0²·sin²α / (2g)
- La portée dépend de sin 2α, la flèche de sin²α — ce ne sont pas les mêmes
- Même portée (axe X) n'implique jamais même trajectoire (axe Y)
- Périmètre : du CM1 à la Terminale + concours post-BAC, avec mode hors-ligne
Ce décryptage part d'une vraie copie de concours : comparer les portées et les flèches de deux projectiles. L'élève réussit brillamment la partie « portées », puis conclut trop vite. On regarde pourquoi même portée ne veut pas dire même trajectoire, et comment Thoth, la turbo intelligence de la plateforme, l'emmène au bout de la question.
L'énoncé et la copie de l'élève
Deux projectiles, même vitesse initiale v0 = 26 m/s, angles 30° et 60°, avec g = 9,81 m/s², frottements négligés. Il faut comparer portées et flèches. L'élève calcule les portées, les trouve égales… puis conclut : « même point de chute = même trajectoire, l'angle n'a pas d'effet ». Il a répondu à une seule moitié de la question.
Portées égales : le bon réflexe
Le plus fin est réussi. Comme 30° et 60° sont complémentaires (leur somme fait 90°), on a sin 2α1 = sin 2α2 (sin 60° = sin 120° = 0,866). D'où :
- À 30° : xP1 = 676 × 0,866 / 9,81 = 59,7 m.
- À 60° : xP2 = 676 × 0,866 / 9,81 = 59,7 m.
Les deux portées sont bien égales. Excellent réflexe.
Mais les flèches diffèrent
La question demandait aussi les flèches (hauteur maximale). Or la flèche suit une autre formule :
- Portée (axe X) : xP = v0²·sin 2α / g
- Flèche (axe Y) : H = v0²·sin²α / (2g)
La portée dépend de sin 2α, la flèche de sin²α. Rien ne dit qu'elles se comportent pareil :
- À 30° : sin²30° = 0,25 → H1 = 676 × 0,25 / 19,62 = 8,61 m.
- À 60° : sin²60° = 0,75 → H2 = 676 × 0,75 / 19,62 = 25,84 m.
La flèche du tir à 60° est donc trois fois plus grande.
Même portée n'est pas même trajectoire
Conclusion correcte : deux angles complémentaires produisent la même portée, mais pas la même trajectoire. Le tir à 60° (en cloche) monte beaucoup plus haut et reste plus longtemps en l'air ; le tir à 30° (tendu) est plus rasant. Même point d'arrivée, chemins très différents — l'angle a bel et bien un effet. L'erreur : confondre l'axe X (portée) et l'axe Y (hauteur).
Les trois réflexes à graver : les deux formules, portée égale mais flèches différentes, et X ≠ Y.
Ce que Thoth change
Sur une copie de physique, une belle moitié de raisonnement ne suffit pas si la conclusion saute une étape. THOTH, ta turbo intelligence, salue ton calcul de portée (vraiment solide), puis te ramène sur la flèche que tu avais laissée de côté. Tu vas au bout de la question au lieu de conclure trop vite. Tu veux d'abord comprendre l'outil ? Lis Qu'est-ce que TurboClasse ?.
À toi de jouer
- Portée et flèche ont deux formules différentes : sin 2α d'un côté, sin²α de l'autre.
- Angles complémentaires ⇒ même portée, mais flèches différentes.
- Une égalité sur l'axe X (portée) n'entraîne jamais une égalité sur l'axe Y (hauteur).
C'est toute l'idée de TurboClasse : 2 fois plus vite, 2 fois plus fort, 2 fois meilleur. On ne révise pas plus longtemps, on révise mieux.
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