Au concours FMSB, Bouba, élève à Meiganga dans la région de l'Adamaoua, tombe sur un calcul de médecine nucléaire. Un traceur injecté au patient, une demi-vie de 6 heures, et une activité à retrouver 24 heures plus tard. Le piège est dans un seul mot. On décrypte.
À chaque demi-vie, l'activité est divisée par 2 — et ça recommence à chaque fois.
📊 En bref
- Demi-vie T½ = 6 h, activité initiale A₀ = 3 200 MBq
- En 24 h : 24 ÷ 6 = 4 demi-vies
- À chaque demi-vie, l'activité est divisée par 2 — quatre fois, donc divisée par 16
- Résultat : A = 3 200 ÷ 16 = 200 MBq
- Le piège : diviser par le nombre de demi-vies (3 200 ÷ 4 = 800), qui est en fait l'activité à 12 h
- Nombre de noyaux : N₀ = A₀ ÷ λ après conversion, soit environ 10¹⁴ noyaux
- Périmètre : du CM1 à la Terminale + concours post-BAC, avec mode hors-ligne
Ce décryptage part d'une vraie copie de concours post-BAC. L'exercice porte sur le technétium-99m, le traceur qu'on injecte pour voir un organe à la caméra. Deux questions : l'activité après 24 heures, puis le nombre de noyaux présents au départ. Tout se joue sur la compréhension d'un seul mot — demi-vie — et sur ce qu'il impose au calcul. Bouba a demandé un indice avant de se lancer. On regarde ce qu'il en a fait.
L'indice qu'il a pris
Thoth ne donne pas la réponse, il oriente : « attention au mot demi-vie quand tu comptes. À chaque demi-vie, l'activité ne se partage pas en parts égales. Demande-toi par combien elle est divisée à chaque fois, et combien de fois ça se répète. »
Chez TurboClasse, un indice coûte une question du quota du jour. Ici, il a été rentable.
La copie de Bouba
Pour la première question : 24 ÷ 6 = 4 demi-vies. À chaque demi-vie, l'activité est divisée par 2, et ça recommence. Donc A = 3 200 × (1/2)⁴ = 3 200 ÷ 16 = 200 MBq.
Pour la seconde : N₀ = A₀ ÷ λ. Conversion d'abord — 3 200 MBq = 3,2 × 10⁹ Bq — puis division par λ = 3,21 × 10⁻⁵ s⁻¹, soit environ 10¹⁴ noyaux.
Ce qui est juste
Les deux questions. L'indice l'a mis sur le bon réflexe et il a déroulé proprement.
Le calcul, étape par étape
Suivons le patient heure par heure :
- t = 0 : 3 200 MBq
- 6 h (1 demi-vie), ÷2 : 1 600 MBq
- 12 h (2 demi-vies), ÷2 : 800 MBq
- 18 h (3 demi-vies), ÷2 : 400 MBq
- 24 h (4 demi-vies), ÷2 : 200 MBq
Divisé par 2 quatre fois de suite, c'est divisé par 2 × 2 × 2 × 2 = 16. D'où A = A₀ × (1/2)⁴ = 3 200 ÷ 16 = 200 MBq.
Le piège que l'indice a évité
Diviser par le nombre de demi-vies : 3 200 ÷ 4 = 800. C'est faux — et le résultat n'est pas absurde pour autant, ce qui le rend dangereux : ce 800 correspond à l'activité à 12 heures, à mi-chemin. Diviser par 4 une fois, ce n'est pas diviser par 2 quatre fois.
Compte les demi-vies, puis coupe en deux autant de fois. Jamais l'inverse.
La leçon cachée, à resservir au concours
La formule tient en une ligne : pour n demi-vies, A = A₀ × (1/2)ⁿ. Elle marche aussi quand la durée ne tombe pas juste : pour 15 heures, 15 ÷ 6 = 2,5 demi-vies, et A = A₀ × (1/2)^2,5.
Et la constante λ n'arrive pas de nulle part : λ = ln2 / T½, avec la demi-vie convertie en secondes. C'est elle qui relie l'activité au nombre de noyaux par A = λ × N — exactement ce que Bouba a utilisé dans la seconde question.
Ce que Thoth change
Thoth valide, puis rejoue le calcul palier par palier pour ancrer le réflexe, et montre où mène l'erreur qui n'a pas été commise. THOTH, ta turbo intelligence, répond aussi à tes questions après la correction : Bouba a demandé comment faire avec 15 heures, et d'où sort le λ — il a eu les deux. Tu veux d'abord comprendre l'outil ? Lis Qu'est-ce que TurboClasse ?.
À toi de jouer
- Compte d'abord le nombre de demi-vies : durée totale ÷ T½.
- Applique A = A₀ × (1/2)ⁿ — divise par 2, autant de fois que de demi-vies.
- Avant de conclure, demande-toi si ton résultat ne correspondrait pas à un palier intermédiaire : c'est le signe d'une division par le mauvais nombre.
C'est toute l'idée de TurboClasse : 2 fois plus vite, 2 fois plus fort, 2 fois meilleur. On ne révise pas plus longtemps, on révise mieux.
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