Cinq lignes écrites en entier. C'est tout ce que l'exercice demande.
📊 En bref
- La question : résoudre 3x − 9 = 0, en posant chaque étape
- La solution : x = 3. L'erreur la plus vue : x = −3
- Le x est enfermé par deux opérations : on l'a multiplié par 3, puis on lui a enlevé 9
- On défait dans l'ordre inverse : d'abord le −9, ensuite le ×3
- Ce qu'on fait d'un côté, on le fait de l'autre. Sinon l'égalité est cassée
- Quand un nombre traverse le signe égal, il change de signe
- On vérifie toujours : 3 × 3 − 9 = 0. Ça tient
- Périmètre : du CM1 à la Terminale, en général comme en technique, plus les concours post-BAC, avec mode hors-ligne
Ce décryptage part d'une vraie question de 3ème, au programme du Brevet d'Études du Premier Cycle (BEPC). Mengue, élève à Sangmélima, demande son indice, écrit chaque ligne — et Thoth lui montre où le point se perd chez les autres.
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La question
Calculer la solution de l'équation du premier degré 3x − 9 = 0, en posant clairement chaque étape du calcul.
Lis bien la fin de la consigne. Le résultat seul ne suffit pas. Ce sont les étapes qui sont notées.
L'indice que Mengue a demandé
Thoth ne lui donne pas le nombre. Il lui donne une manière de regarder l'équation : le x est enfermé derrière deux opérations. Les repérer, repérer l'ordre dans lequel on les a faites, et les défaire une par une — en commençant par la dernière. Écrire chaque ligne en entier, sans en sauter une. Et surveiller le signe du neuf au moment où il change de côté.
Ça marche. Une fois les deux opérations identifiées, l'ordre du travail devient évident.
Sa copie
Elle part de 3x − 9 = 0. Elle ajoute 9 des deux côtés, obtient 3x = 9. Elle divise les deux côtés par 3, obtient x = 3. Puis elle vérifie : 3 × 3 − 9 = 9 − 9 = 0.
x = 3. C'est juste, et c'est rédigé.
Un cadenas fermé à deux tours
Une équation, c'est une question déguisée. Elle demande : quel nombre se cache derrière le x ?
Ici, ce x est enfermé. Deux opérations le tiennent. D'abord on l'a multiplié par 3. Ensuite on lui a enlevé 9.
Pense à un cadenas fermé à deux tours de clé. Tu as donné le premier tour, puis le deuxième. Pour ouvrir, tu ne commences pas par le premier : tu commences par le dernier tour donné. Une équation marche pareil. On défait les opérations dans l'ordre inverse de celui où elles ont été faites.
Il y a une deuxième règle, aussi importante. Le signe égal sépare deux côtés, et les deux côtés valent la même chose. Ce que tu fais à gauche, tu le fais aussi à droite. Sinon l'égalité est cassée, et tout ce qui suit est faux.
Deux tours pour fermer. Deux tours pour ouvrir, en commençant par le dernier.
Les cinq lignes, une par une
- 3x − 9 = 0 — le point de départ.
- 3x − 9 + 9 = 0 + 9 — j'ajoute 9 des deux côtés.
- 3x = 9 — à gauche, −9 + 9 fait 0 ; à droite, 0 + 9 fait 9.
- 3x ÷ 3 = 9 ÷ 3 — je divise les deux côtés par 3.
- x = 3 — à gauche, il ne reste que le x.
Cinq lignes. Aucune n'est difficile. Le travail consiste à ne pas en sauter une.
Le raccourci « il passe de l'autre côté »
On te l'apprendra, et on te le dira vite : le −9 passe de l'autre côté et devient +9.
C'est vrai. C'est plus rapide. Mais ce n'est pas de la magie, et c'est important de savoir d'où ça vient.
Ce raccourci, c'est exactement la ligne que tu viens d'écrire. On a ajouté 9 des deux côtés. À gauche, le 9 s'annule et disparaît. À droite, il apparaît. D'où l'impression qu'il a « traversé » en changeant de signe.
Le jour où tu bloques, reviens à la ligne complète. Elle est toujours là, sous le raccourci.
Les trois pièges
| L'erreur | Ce que ça donne | Pourquoi c'est faux |
|---|---|---|
| Garder le signe du 9 | 3x = −9, puis x = −3 | Quand le 9 change de côté, il change de signe. |
| Retourner la division | x = 3 ÷ 9 ≈ 0,33 | On divise le nombre par ce qui multiplie le x, jamais l'inverse. |
| Ne pas vérifier | une réponse fausse rendue sans le savoir | La vérification tient en une ligne, et elle te dit tout. |
Le plus fréquent, c'est le premier. On recopie le 9 avec son moins, par habitude, sans même y penser. Et une seule ligne fausse emporte tout le reste de la copie.
La vérification qui tient en une ligne
Tu remplaces x par ta réponse, dans l'équation de départ.
3 × 3 − 9 = 9 − 9 = 0. Ça tombe bien sur zéro. Ta réponse tient.
C'est cette ligne qui te rend autonome. Pendant un devoir, personne ne te dira si c'est juste. Ta vérification, si. Et si les deux côtés ne tombent pas égaux, tu le sais tout de suite, tu reprends — avant de rendre.
Et si c'était 3x + 9 = 0 ?
Ça change le signe, et rien d'autre.
Tu as un +9 à gauche. Pour l'enlever, tu retires 9 des deux côtés. Tu obtiens 3x = −9. Puis tu divises par 3 : x = −3. Vérification : 3 × (−3) + 9 = −9 + 9 = 0. C'est bon.
Retiens la règle sous les deux cas. Quand un nombre traverse le signe égal, il change de signe. Le +9 devient −9, le −9 devient +9.
Ce que Thoth change
Mengue avait la bonne solution, et la rédaction avec. Un correcteur aurait mis les points et serait passé à la copie suivante.
Thoth a validé, puis il a repris la copie ligne par ligne : d'où vient le raccourci, où l'erreur de signe se fabrique, et pourquoi la vérification n'est pas une politesse mais un outil. Savoir pourquoi une ligne est juste, c'est ce qui permet de la réécrire seul le jour de l'examen.
À toi de jouer
- Repère les deux opérations. Ce qui multiplie le x, ce qu'on lui ajoute ou retire.
- Défais dans l'ordre inverse. D'abord le nombre ajouté ou retiré, ensuite la multiplication.
- Vérifie en remplaçant. Une ligne, et tu sais si ta réponse tient.
C'est toute l'idée de TurboClasse : 2 fois plus vite, 2 fois plus fort, 2 fois meilleur. On ne révise pas plus longtemps, on révise mieux.
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