Au concours ENSP, une seule ligne peut faire basculer tout un calcul juste. Le sujet : calculer (1 + i√3)⁶. La méthode du candidat est impeccable… sauf un angle, et le résultat passe de +64 à −64. On décrypte.
Un module parfait, une méthode carrée — et une confusion d'angle qui fait tout dérailler.
📊 En bref
- Module = 2 : √(1² + (√3)²) = √4
- Argument = π/3, jamais π/6 : il faut cos = 1/2 et sin = √3/2
- Formule de Moivre : (2·e^(iπ/3))⁶ = 2⁶ · e^(i·2π)
- 2⁶ = 64 et e^(i·2π) = 1 (angle réduit modulo 2π)
- Résultat = 64 (positif) — l'erreur π/6 menait à −64
- Périmètre : du CM1 à la Terminale + concours post-BAC, avec mode hors-ligne
Ce décryptage part d'une vraie copie de concours : un candidat calcule (1 + i√3)⁶ par la forme exponentielle, suit la bonne méthode… puis se trompe d'un seul angle. Résultat, un calcul entièrement juste aboutit à un nombre négatif là où la réponse est un entier positif. On regarde exactement où ça coince, et comment Thoth, la turbo intelligence de la plateforme, remet la copie d'aplomb sans tout raturer.
Le sujet et la stratégie du candidat
L'énoncé demande de calculer (1 + i√3)⁶ en passant par la forme exponentielle. Le candidat suit la bonne route, dans le bon ordre : trouver le module, déterminer l'argument, puis appliquer la formule de Moivre pour la puissance 6. Le module est nickel : √(1² + (√3)²) = √4 = 2. Jusque-là, un sans-faute.
Le piège : un argument, ça se lit avec deux conditions
Au moment de l'argument, le candidat pose θ = π/6. Aïe. C'est le piège du chapitre. Un argument ne se choisit jamais avec une seule information. On divise par le module (2) et on lit les deux :
- partie réelle / 2 → cos θ = 1/2 ;
- partie imaginaire / 2 → sin θ = √3/2.
Le seul angle qui vérifie les deux en même temps, c'est π/3. Le candidat a confondu avec π/6, qui a exactement l'inverse (cos = √3/2, sin = 1/2). Une inversion minuscule… aux conséquences énormes.
La bonne correction, pas à pas
Avec le bon angle, tout se remet d'aplomb :
- 1 + i√3 = 2·e^(iπ/3) (module 2, argument π/3) ;
- Moivre à la puissance 6 : 2⁶ · e^(i·6·π/3) = 64 · e^(i·2π) ;
- on réduit l'angle modulo 2π : 6 × π/3 = 2π ≡ 0, donc e^(i·2π) = 1 ;
- résultat final : 64, bien positif.
Avec π/6, le candidat tombait sur e^(iπ) = −1, donc −64 : un résultat négatif là où la réponse est un entier positif. Toute la copie était juste, sauf une ligne.
Les trois réflexes à graver avant l'épreuve : l'argument à deux conditions, la réduction modulo 2π, et l'ordre de la méthode.
Ce que Thoth change
Le plus dur, seul, ce n'est pas de faire le calcul : c'est de repérer la ligne exacte qui coince, sans se décourager. C'est là que THOTH, ta turbo intelligence, fait la différence. Il commence par valider ce qui est juste (« ton module est parfait, ta méthode est la bonne »), puis il pointe la seule étape fautive — l'argument — sans rayer toute la page. Pas de jugement, juste de la précision. Envie de comprendre l'outil avant de t'y mettre ? Lis Qu'est-ce que TurboClasse ?.
À toi de jouer
- Refais l'exercice sans regarder : module, puis argument avec cos ET sin.
- À chaque nombre complexe, prends le réflexe de vérifier les deux conditions avant d'écrire l'angle.
- Après Moivre, réduis toujours l'angle final modulo 2π.
C'est toute l'idée de TurboClasse : 2 fois plus vite, 2 fois plus fort, 2 fois meilleur. On ne révise pas plus longtemps, on révise mieux — et on arrête de perdre des points sur une seule ligne.
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